📊확률과 통계 기초 간단메모

📊 확률과 통계 BASIC CONCEPT 

확률과 통계, 표본공간에 대해 정리해본다. 

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✔️ 확률과 통계란? 

확률: 오랜시간동안 경험적으로 쌓아온 확률현상에 대한 경험적 인식을 바탕으로 이론화한 것. 

통계: 자료를 수집한 뒤 분석, 해석 및 표현을 다루는 수학의 한 분야

 

*확률과 통계는 별개의 학문이지만, 통계를 하려면 확률지식을 알아야 한다. 

 

 

✔️확률

1. 수학적 확률 : 누가 계산하든 동일한 값으로 계산되는 확률

2. 통계적 확률: 동일조건& 독립적으로 무한반복했을 때 발생하는 확률

3. 주관적 확률: 관찰자의 주관에 따라 다르게 표현되는 확률

 

✔️표본공간(Sample Space)  & 사건(Event)

-확률이론은 '표본공간(sample space)'의 정의부터 시작한다. 표본공간은 '통계적 실험에서 발생가능한 모든 결과들의 집합'으로 정의하고 이를 S로 나타낸다.

-표본공간은 모든 결과의 집합을 나타내기 때문에, 이 결과들을 가지고 부분집합을 만들수 있다.

-"표본공간의 부분집합"을 사건(event)이라고 한다. ('사건'은 표본공간 밖에서 만들어질 수 없다.)

-즉, 표본 공간에서 특정한 조건을 만족하는 결과를 모아놓은 집합을 '확률적 사건'이라고 하고 간단하게 '사건(event)'이라고 한다.

⇢표본 공간 상에서 어떤 부분집합이냐에 따라 사건의 이름이 달라진다. 

1) 전사건(total event) : 표본공간 S의 모든 원소를 포함하는 사건 
2) 공사건(null event) : 표본공간 S의 어떤 원소도 포함하지 않는 사건
3) 여사건(complementary event): 표본공간 S의 사건 E에 속하지 않는 S의 모든 원소들의 집합인 사건 
4) 합사건(union event) : 두 사건 E와 F에 대하여 E와 F 중 적어도 한쪽은 일어나는 사건
5) 곱사건(intersection event) : 두 사건 E와 F에 대하여 E와 F가 동시에 일어나는 사건
6) 배반사건(mutually exclusive event) : 두 사건 E와 F에 대하여 E와 F 중 한 쪽이 일어나면 다른 쪽은 일어나면 다른 쪽은 일어나지 않을 때, E와 F는 서로 배반이라 한다. (서로 공통부분이 없다) 

 

 

 

📊 확률과 확률변수 

확률과 확률변수에 대해 알아본다. 

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✔️일반적인 확률 정의:
'모든 사건의 경우의 수'에 대한 '특정한 사건이 발생한 빈도수'의 비율. 즉, 비율(ratio)다. 

사건(Event) A의 확률은, 사건 A 안에 있는 모든 원소에 할당된 확률의 합으로, 사건 A의 확률은 0=< P(A) =<1의 범위를 갖는다. 

 

✔️할당된 확률

사건 A의 각각의 원소에 가중치(weight)가 부여됐다는 뜻이다. 

 

✔️확률변수 = 함수 (표본공간의 각 원소로부터 대응되는 하나의 실수를 '확률변수'라고 한다.

확률변수의 종류에는 '이산확률변수'와 '연속확률변수' 두 종류가 있다. 

 

이산확률변수 : 확률변수 X의 집합을 셀 수 있으면 이산확률 변수다. 유한개의 값 또는 셀 수 있는 개수의 값으로 구성되어 있는 확률변수다. '이산'은 불연속을 뜻한다. 

연속확률변수 : 확률변수 X가 연속적인 구간 내의 값을 취하면 '연속확률 변수'다. 연속확률변수는 연속적인 범위의 값을 갖는 확률 변수다. 예를 들어 시간은 셀수 없기 때문에 범위로 표현해야 한다. 

 

✔️ 이산확률 변수와 연속확률변수의 가장 큰 차이: P(X=x)로 표현할 수 있는지의 여부다. 

 

 

 

📊 확률질량함수(Probability Mass Function of Discrete Random Variable) & 이산확률변수의 누적분포함수 (Culmulative Distribution Function of Discrete Random Variable)

-확률분포와 확률질량함수 & 누적분포함수에 대해 알아본다. 
-이산확률변수

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✔️'확률분포

'분포(disctribution)'라는 말은 일정한 범위에 흩어져 퍼져 있는 것을 의미한다. 즉, '확률분포'는 확률변수에 따라 확률이 어떻게 흩어져 있는지를 표현한다. 흩어져 있는 것을 표현하기 위해 함수를 도입하는 것이다. 

 

✔️확률질량함수

확률질량함수는 이산확률변수의 확률함수다. 

 

✔️이산확률변수의 확률질량함수

확률질량함수의 성질: 

 

✔️누적분포함수 (Culumative distribution function; cdf) 

주어진 확률변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수다. 

 

 

 

📊 확률밀도함수(Probability Density Function 

-확률밀도함수에 대해 알아본다.
-연속확률변수

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✔️'연속확률분포'에서 확률을 구할 때는 항상 범위로 표현한다. 

✔️연속확률변수에서, a와 b사이의 확률을 구하는 것은 확률밀도함수 그래프의 넓이를 구하는 것이다. 

 

 

 

 

📊 연속확률변수의 누적분포함수 (cdf; Culmulative Distribution Function of Continuous Random Variable)

-연속확률변수의 누적분포함수

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참고: https://blog.naver.com/mykepzzang/220836321999